Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．

（1）求證：AB=AC；
（2）若AD=2 ，∠DAC=30°，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，

∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，

在RT△DEB和RT△DFC中，

，

∴△DEB≌△DFC，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC

（2）

解：∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC，

在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2 ，∠DAC=30°，

∴AC=2CD，設CD=a，則AC=2a，

∵AC2=AD2+CD2，

∴4a2=a2+（2 ）2，

∵a＞0，

∴a=2，

∴AC=2a=4．

【解析】（1）先證明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可證明．（2）先證明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性質設CD=a，AC=2a，根據勾股定理列出方程即可解決問題．本題考查全等三角形的判定和性質、直角三角形30°性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，記住直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，屬于中考常考題型．