Question

我市某商場有甲、乙兩種商品，甲種每件進價15元，售價20元；乙種每件進價35元，售價45元．
（1）若商家同時購進甲、乙兩種商品100件，設甲商品購進x件，售完此兩種商品總利潤為y 元．寫出y與x的函數關系式．
（2）該商家計劃最多投入3000元用于購進此兩種商品共100件，則至少要購進多少件甲種商品？若售完這些商品，商家可獲得的最大利潤是多少元？
（3）“五•一”期間，商家對甲、乙兩種商品進行表中的優惠活動，小王到該商場一次性付款324元購買此類商品，商家可獲得的最小利潤和最大利潤各是多少？

打折前一次性購物總金額	優惠措施
不超過400元	售價打九折
超過400元	售價打八折

Answer 1

解：（1）設甲商品購進x件，則乙商品購進（100﹣x）件，由題意，得
y=（20﹣15）x+（45﹣35）（100﹣x）=﹣5x+1000，
∴y與x之間的函數關系式為：y=﹣5x+1000。
（2）由題意，得15x+35（100﹣x）≤3000，
解得x≥25。
∵y=﹣5x+1000中k=﹣5＜0，∴y隨x的增大而減小。
∴當x取最小值25時，y最大值，此時y=﹣5×25+1000=875（元）。
∴至少要購進25件甲種商品；若售完這些商品，商家可獲得的最大利潤是875元。
（3）設小王到該商場購買甲種商品m件，購買乙種商品n件．
①當打折前一次性購物總金額不超過400時，購物總金額為324÷0.9=360（元），
則20m+45n=360，m=18﹣n＞0，∴0＜n＜8．
∵n是4的倍數，∴n=4，m=9。
此時的利潤為：324﹣（15×9+35×4）=49（元）。
②當打折前一次性購物總金額超過400時，購物總金額為324÷0.8=405（元），
則20m+45n=405，m=＞0，∴0＜n＜9。
∵m、n均是正整數，∴m=9，n=5或m=18，n=1。
當m=9，n=5的利潤為：324﹣（9×15+5×35）=14（元）；
當m=18，n=1的利潤為：324﹣（18×15+1×35）=19（元）。
綜上所述，商家可獲得的最小利潤是14元，最大利潤各是49元。

解析試題分析：（1）根據利潤=甲種商品的利潤+乙種商品的利潤就可以得出結論。
（2）根據“商家計劃最多投入3000元用于購進此兩種商品共100件”列出不等式，解不等式求出其解，再根據一次函數的性質，求出商家可獲得的最大利潤。
（3）設小王到該商場購買甲種商品m件，購買乙種商品n件．分兩種情況討論：①打折前一次性購物總金額不超過400；②打折前一次性購物總金額超過400。