Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線經過點和點．

(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標；

(2)點是拋物線上、之間的一點，過點作軸于點，軸，交拋物線于點，過點作軸于點，當矩形的周長最大時，求點的橫坐標；

(3)如圖2，連接、，點在線段上(不與、重合)，作，交線段于點，是否存在這樣點，使得為等腰三角形？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；；(2)點的橫坐標為；(3)AN=1或.

【解析】

(1)根據和點可得拋物線的表達式為，可知對稱軸為x=-2，代入解析式即可得出頂點坐標；(2)設點，則，，可得矩形的周長，即可求解；(3)由D為頂點，A、B為拋物線與x軸的交點可得AD=BD，即可證明∠DAB=∠DBA，根據，利用角的和差關系可得，即可證明，可得；分、、，三種情況分別求解即可．

(1)∵拋物線經過點和點．

∴拋物線的表達式為：，

∴對稱軸為：x==-2，

把x=-2代入得：y=4，

∴頂點.

(2)設點，

則，，

矩形的周長，

∵，

∴當時，矩形周長最大，此時，點的橫坐標為.

(3)∵點D為拋物線頂點，A、B為拋物線與x軸的交點，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA，

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∵D（-2，4），A（-5，0），B（1，0）

∴，，

①當時，

∵∠NAM=∠MBD，∠NMA=∠MBD，

∴，

∴，

∴=AB-AM=1；

②當時，則，

∵∠DMN=∠DBA，

∴∠NDM=∠DBA，

∵∠DAB是公共角，

∴，

∴，

∴，即：，

∴，

∵，即，

∴；

③當時，

∵，而，

∴，

∴；

綜上所述：或．