Question

【題目】已知拋物線y＝ax2＋bx＋5與x軸交于點A(1，0)和點B(5，0)，頂點為M．點C在x軸的負半軸上，且AC＝AB，點D的坐標為(0，3)，直線l經過點C、D．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點P是直線l在第三象限上的點，聯結AP，且線段CP是線段CA、CB的比例中項，

求tan∠CPA的值；

（3）在（2）的條件下，聯結AM、BM，在直線PM上是否存在點E，使得∠AEM=∠AMB.若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】 （1）；（2） ；（3）E的坐標為（-2，-4）或（4，-4）.

【解析】試題分析：（1）把A、B兩點帶入拋物線解析式，求得a、b的值，即可得到拋物線解析式；

（2）由AC=AB且點C在點A的左側，及線段CP是線段CA、CB的比例中項，可得CP=，

由兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似，可得△CPA∽△CBP，由此∠CPA= ∠CBP.

過P作PH⊥x軸于H，易得PH=4，H（-7，0），BH=12. 由于P（-7，-4），可求；

（3）分兩種情況：點E在M左側和點E在M右側討論即可.

試題解析：（1）∵ 拋物線與x軸交于點A（1，0），B（5，0），

∴,

解得

∴ 拋物線的解析式為 .

（2）∵ A（1，0），B（5，0），

∴ OA=1，AB=4.

∵ AC=AB且點C在點A的左側，

∴ AC=4 .

∴ CB=CA+AB=8.

∵ 線段CP是線段CA、CB的比例中項，

∴ .

∴ CP=.

又 ∵ ∠PCB是公共角，

∴ △CPA∽△CBP .

∴ ∠CPA= ∠CBP.

過P作PH⊥x軸于H.

∵ OC=OD=3，∠DOC=90°，

∴ ∠DCO=45°.∴ ∠PCH=45°

∴ PH=CH=CP=4，

∴ H（-7，0），BH=12，

∴ P（-7，-4），

∴，

tan∠CPA=.

（3） ∵ 拋物線的頂點是M（3，-4），

又 ∵ P（-7，-4），

∴ PM∥x軸 .

當點E在M左， 則∠BAM=∠AME.

∵ ∠AEM=∠AMB，

∴ △AEM∽△BMA.

∴,

∴.

∴ ME=5，∴ E（-2，-4）.

過點A作AN⊥PM于點N，則N（1，-4）.

當點E在M右側時，記為點，

∵ ∠AN=∠AEN，

∴ 點與E 關于直線AN對稱，則（4，-4）.

綜上所述，E的坐標為（-2，-4）或（4，-4）.