Question

操作與探索：
已知點O為直線AB上一點，作射線OC，將直角三角板ODE放置在直線上方(如圖①)，使直角頂點與點O重合，一條直角邊OD重疊在射線OA上，將三角板繞點O旋轉

（1）當三角板旋轉到如圖②的位置時，若OD平分∠AOC，試說明OE也平分∠BOC.
（2）若OC⊥AB，垂足為點O(如圖③)，請直接寫出與∠DOB互補的角                       
（3）若∠AOC=135°(如圖④)，三角板繞點O按順時針從如圖①的位置開始旋轉，到OE邊與射線OB重合結束. 請通過操作，探索：在旋轉過程中，∠DOB∠COE的差是否發生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請用含有n(n為三角板旋轉的度數)的代數式表示這個差.

Answer 1

（1）由OD平分∠AOC可得∠AOD=∠COD，由∠DOE=90°可得∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°，即可證得結論；（2）∠AOD、∠COE；
（3）①若n≤45°，∠DOB∠COE=135°，②若n＞45°，∠DOB∠COE=225°2n

試題分析：（1）由OD平分∠AOC可得∠AOD=∠COD，由∠DOE=90°可得∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°，即可證得結論；
（2）由OC⊥AB可得∠AOD+∠COD=90°，由∠DOE=90°可得∠COD+∠COE=90°，即可得到∠AOD=∠COE，從而可以求得與∠DOB互補的角；
（3）由于旋轉45°時，OE與OC重合，故要分n≤45°與n＞45°兩種情況分析.
（1）∵OD平分∠AOC
∴∠AOD=∠COD
∵∠DOE=90°
∴∠AOD+∠EOB=90°，∠COD+∠COE=90°
∴∠COE=∠EOB
∴OE也平分∠BOC；
（2）∵OC⊥AB，∠DOE=90°
∴∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠COE=90°
∴∠AOD=∠COE
∴與∠DOB互補的角為∠AOD、∠COE；
（3）①若n≤45°，∠DOB∠COE=（180°-n）-（45°-n）=180°-n-45°+n=135°，
②若n＞45°，∠DOB∠COE=（180°-n）-（n-45°）=180°-n-n+45°=225°2n.
點評：解答本題的關鍵是注意直角三角板的問題往往應用到同角的余角相等的知識，同時熟記旋轉對應邊是夾角是旋轉角.