Question

【題目】閱讀材料：如圖(一)，△ABC的周長為，內切圓O的半徑為r,連結OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個小三角形，用S△ABC表示△ABC的面積

∵ S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA

又∵S△OAB=，S△OBC=，S△OCA =

∴S△ABC=++= (可作為三角形內切圓半徑公式)

(1)理解與應用：利用公式計算邊長分為5、12、13的三角形內切圓半徑；

(2)類比與推理：若四邊形ABCD存在內切圓(與各邊都相切的圓，如圖(二))且面積為S，各邊長分別為a、b、c、d，試推導四邊形的內切圓半徑公式；

(3)拓展與延伸：若一個n邊形(n為不小于3的整數)存在內切圓，且面積為S，各邊長分別為a1、a2、a3、…、an，合理猜想其內切圓半徑公式(不需說明理由)．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）r=；（3）r=．

【解析】

試題分析：（1）根據上述三角形的內切圓的半徑公式，由已知條件，結合勾股定理的逆定理得該三角形是直角三角形．可以首先求得其面積是30，其周長是5+12+13=30．再根據其公式代入計算；

（2）同樣連接圓心和四邊形的各個頂點以及圓心和的切點，根據四邊形的面積等于四個直角三角形的面積進行計算；

（3）根據上述方法和結論，即可猜想到：任意多邊形的內切圓的半徑等于其面積的2倍除以多邊形的周長．

試題解析：（1）以5，12，13為邊長的三角形為直角三角形，易求得r=

（2）連接OA，OB，OC，OD，并設內接圓半徑為r，

可得S四邊形ABCD=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△ODA

=ar+br+cr+dr=（a+b+c+d）r．

∴r=；

（3）猜想：r=．