Question

【題目】如圖1，2，3分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正三角形（等邊三角形）、正四邊形（正方形）、正五邊形，BE和CD相交于點O．

（1）在圖1中，求證：△ABE≌△ADC．

（2）由（1）證得△ABE≌△ADC，由此可推得在圖1中∠BOC=120°，請你探索在圖2中，∠BOC的度數，并說明理由或寫出證明過程．

（3）填空：在上述（1）（2）的基礎上可得在圖3中∠BOC= （填寫度數）．

（4）由此推廣到一般情形（如圖4），分別以△ABC的AB和AC為邊向△ABC外作正n邊形，BE和CD仍相交于點O，猜想得∠BOC的度數為 （用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）∠BOC=90°，理由見解析；（3）72°；（4）∠BOC的度數為，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據等邊三角形證明AB=AD，AC=AE，再利用等式性質得∠DAC=∠BAE，根據SAS得出△ABE≌△ADC；（2）根據正方形性質證明△ABE≌△ADC，得∠BEA=∠DCA，再由正方形ACEG的內角∠EAC=90°和三角形外角和定理得∠BOC=90°；（3）根據正五邊形的性質證明：△ADC≌△ABM，再計算五邊形每一個內角的度數為108°，由三角形外角定理求出∠BOC=72°；（4）根據正n邊形的性質證明：△ADC≌△ABM，再計算n邊形每一個內角的度數為180°﹣，由三角形外角定理求出∠BOC=．

試題解析：（1）如圖1，∵△ABD和△ACE是等邊三角形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

即∠DAC=∠BAE，

∴△ABE≌△ADC；

（2）如圖2，∠BOC=90°，理由是：

∵四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形，

∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，

∴∠BAE=∠DAC，

∴△ADC≌△ABE，

∴∠BEA=∠DCA，

∵∠EAC=90°，

∴∠AMC+∠DCA=90°，

∵∠BOC=∠OME+∠BEA=∠AMC+∠DCA，

∴∠BOC=90°；

（3）如圖3，同理得：△ADC≌△ABM，

∴∠BME=∠DCA，

∵∠BOC=∠BME+∠OEM=∠DCA+∠AEC，

∵正五邊形ACIGM，

∴∠EAC=180°﹣=108°，

∴∠DCA+∠AEC=72°，

∴∠BOC=72°；

（4）如圖4，∠BOC的度數為，理由是：

同理得：△ADC≌△ABM，

∴∠BME=∠DCA，

∵∠BOC=∠BME+∠OEM=∠DCA+∠AEC，

∵正n邊形AC…M，

∴∠EAC=180°﹣，

∴∠DCA+∠AEC=180°﹣（180°﹣）

∴∠BOC=．