Question

已知：如圖，有一塊含30°的直角三角板OAB的直角邊長BO的長恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長相等，把該套三角板放置在平面直角坐標系中，且AB=3．
（1）若雙曲線的一個分支恰好經過點A，求雙曲線的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板繞點O按順時針方向旋轉后，斜邊OA恰好與x軸重疊，點A落在點A′，試求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

分析：（1）要求雙曲線的解析式，主要是求得點A的坐標，根據30°的直角三角形的性質即可求得OB的長，則得到點A的坐標，再根據待定系數法進一步求得雙曲線的解析式；
（2）陰影部分的面積即為扇形OAA′的面積減去三角形OCD的面積．

解答：解：（1）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，

1

tan∠AOB

=

OB

AB

，
∴OB=AB•

1

tan30°

=3

3

，
∴點A（3，3

3

）．
設雙曲線的解析式為y=

k

x

（k≠0）．
∴3

3

=

k

3

，k=9

3

．
則雙曲線的解析式為y=

9 3

x

．

（2）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，
sin∠AOB=

AB

OA

，sin30°=

3

OA

，
∴OA=6．
由題意得：∠AOC=60°，
S_扇形AOA′=

60•π•62

360

=6π．
在Rt△OCD中，∠DOC=45°，OC=OB=3

3

，
∴OD=OC•cos45°=3

3

•

2

2

=

3 6

2

．
∴S_△ODC=

1

2

OD2=

1

2

(

3 6

2

)2=

27

4

．
∴S_陰影=S_扇形AOA′-S_△ODC=6π-

27

4

．

點評：綜合考查了30°的直角三角形的性質、待定系數法求函數的解析式、扇形的面積公式．