Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當△BCD的面積最大時，求點P的坐標；

（3）如圖2，拋物線頂點為E，EF⊥x軸于F點，N是線段EF上一動點，M（m，0）是x軸上一動點，若∠MNC＝90°，直接寫出實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）當a＝時，△BDC的面積最大，此時P（，）；

（3）m的取值范圍為：﹣≤m≤5．

【解析】

（1）由y＝﹣x2+bx+c經過點A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），利用待定系數法即可求得此拋物線的解析式；

（2）首先令﹣x2+2x+3＝0，求得點B的坐標，然后設直線BC的解析式為y＝kx+b′，由待定系數法即可求得直線BC的解析式，再設P（a，3﹣a），即可得D（a，﹣a2+2a+3），即可求得PD的長，由S△BDC＝S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC＝﹣（a﹣）2+，利用二次函數的性質，即可求得當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；

（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列出關系式m＝（n﹣）2﹣，然后根據n的取值得到最小值．

解：（1）由題意得：，

解得：，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）令﹣x2+2x+3＝0，

∴x1＝﹣1，x2＝3，

即B（3，0），

設直線BC的解析式為y＝kx+b′，

∴，

解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，

設P（a，3﹣a），則D（a，﹣a2+2a+3），

∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，

∴S△BDC＝S△PDC+S△PDB

＝PDa+PD（3﹣a）

＝PD3

＝（﹣a2+3a）

＝﹣（a﹣）2+，

∴當a＝時，△BDC的面積最大，此時P（，）；

（3）由（1），y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴E（1，4），

設N（1，n），則0≤n≤4，

取CM的中點Q（，），

∵∠MNC＝90°，

∴NQ＝CM，

∴4NQ2＝CM2，

∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，

∴4[（1﹣）2+（n﹣）2]＝m2+9，

整理得，m＝n2﹣3n+1，即m＝（n﹣）2﹣，

∵0≤n≤4，

當n＝上，M最小值＝﹣，n＝4時，M最小值＝5，

綜上，m的取值范圍為：﹣≤m≤5．