Question

【題目】已知二次函數y=x2﹣2x﹣3，點P在該函數的圖象上，點P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2 ． 設d=d1+d2 ， 下列結論中： ①d沒有最大值；
②d沒有最小值；
③﹣1＜x＜3時，d隨x的增大而增大；
④滿足d=5的點P有四個．
其中正確結論的個數有（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令二次函數y=x2﹣2x﹣3中y=0，即x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3．

（i）當x≤﹣1時，d1=x2﹣2x﹣3，d2=﹣x，

d=d1+d2=x2﹣3x﹣3= ，

d≥1；

（ii）當﹣1＜x≤0時，d1=﹣x2+2x+3，d2=﹣x，

d=﹣x2+x+3=﹣ ，

1＜x≤3；

（iii）當0＜x≤3時，d1=﹣x2+2x+3，d2=x，

d=﹣x2+3x+3=﹣ + ，

3≤x≤ ；

（iv）當3＜x時，d1=x2﹣2x﹣3，d2=x，

d=d1+d2=x2﹣x﹣3= ，

3＜d．

綜上可知：d有最小值，沒有最大值，即①成立，②不成立；

當0＜x≤ 時，d隨x的增大而增大， ＜x≤3時，d隨x的增大而減小，

∴﹣1＜x＜3時，d隨x的增大而增大，結論③不成立；

令d=5，（i）中存在一個解；（ii）中無解；（iii）中有兩個解；（iv）中一個解．

∴滿足d=5的點P有四個，結論④成立．

∴正確的結論有2個．

故選B．

【考點精析】掌握二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．