Question

【題目】如圖，在△ABC中AB=AC，點D，E，F分別在AB，BC，AC邊上，且BE=CF，AD+EC=AB.

（1）求證：△DEF是等腰三角形；

（2）當∠A=40°時，求∠DEF的度數；

（3）猜想：當∠A為多少度時，∠DEF=60°？請說明理由。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）通過全等三角形的判定定理SAS證得△DBE≌△RCF，由“全等三角形的對應邊相等”推知DE=EF，所以△DEF是等腰三角形；

（2）由等腰△ABC的性質求得∠B=∠C=（180°-40°）=70°，所以根據三角形內角和定理推知∠BDE+∠DEB=110°；再結合△DBE≌△ECF的對應角相等：∠BDE=∠FEC，故∠FEC+∠DEB=110°，易求∠DEF=70°；

（3）由（2）知，∠DEF=∠B，于是得到∠B=60°，推出△ABC是等邊三角形，于是得到結論.

解：（1）因為AB=AC，所以∠B=∠C.

因為AD+EC=AB，AD+DB=AB,

所以BD=EC.

在△DBE和 △ECF中，因為BE=CF,∠B=∠C,BD=EC,

所以△DBE≌△ECF（SAS）.

所以DE=EF.

所以△DEF是等腰三角形.

（2）因為∠A=40°，∠B=∠C，

所以∠B=∠C=70°.

因為△DBE≌△ECF，所以∠BDE=∠CEF.

因為∠DEC=∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE,

所以∠DEF=∠B.所以∠DEF=70°，

（3）當∠A為60°時，∠DEF=60°.理由如下：

由（2）知∠DEF=∠B.

若∠DEF=60°，則∠B=60°.

因為AB=AC，所以∠ABC是等邊三角形.

所以∠A=60°.