Question

【題目】附加題：如圖，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點，點P在線段BC上由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．

（1）如果點P、Q的速度均為3厘米/秒，經過1秒后，△BPD與△CQP是否全等？請說明理由；
（2）若點P的運動速度為2厘米/秒，點Q的運動速度為2.5厘米/秒，是否存在某一個時刻，使得△BPD與△CQP全等？如果存在請求出這一時刻并證明；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：△BPD與△CQP是全等，

理由是：當t=1秒時BP=CQ=3，

CP=8﹣3=5，

∵D為AB中點，

∴BD= AC=5=CP，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△BDP和△CPQ中

∵ ，

∴△BDP≌△CPQ（SAS）

（2）解：假設存在時間t秒，使△BDP和△CPQ全等，

則BP=2t，BD=5，CP=8﹣2t，CQ=2.5t，

∵△BDP和△CPQ全等，∠B=∠C，

∴ 或 （此方程組無解），

解得：t=2，

∴存在時刻t=2秒時，△BDP和△CPQ全等，

此時BP=4，BD=5，CP=8﹣4=4=BP，CQ=5=BD，

在△BDP和△CQP中

∵ ，

∴△BDP≌△CQP（SAS）．

【解析】（1）求出BP=CQ，CP=BD，∠B=∠C，根據SAS證出兩三角形全等即可；（2）假設存在時刻t，根據全等三角形的性質得出方程組，求出t后，看看是否符合題意，再根據全等三角形的判定推出即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰三角形的性質(等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）)．