Question

【題目】綜合與探究

閱讀材料：

數軸是學習有理數的一種重要工具，任何有理數都可以用數軸上的點表示，這樣能夠運用數形結合的方法解決一些問題．例如，兩個有理數在數軸上對應的點之間的距離可以用這兩個數的差的絕對值表示；

在數軸上，有理數3與1對應的兩點之間的距離為|3﹣1|=2；

在數軸上，有理數5與﹣2對應的兩點之間的距離為|5﹣（﹣2）|=7；

在數軸上，有理數﹣2與3對應的兩點之間的距離為|﹣2﹣3|=5；

在數軸上，有理數﹣8與﹣5對應的兩點之間的距離為|﹣8﹣（﹣5）|=3；……

如圖1，在數軸上有理數a對應的點為點A，有理數b對應的點為點B，A，B兩點之間的距離表示為|a﹣b|或|b﹣a|，記為|AB|=|a﹣b|=|b﹣a|．

解決問題：

(1)數軸上有理數﹣10與﹣5對應的兩點之間的距離等于　 　；數軸上有理數x與﹣5對應的兩點之間的距離用含x的式子表示為　 　；若數軸上有理數x與﹣1對應的兩點A，B之間的距離|AB|=2，則x等于　 　；

聯系拓廣：

(2)如圖2，點M，N，P是數軸上的三點，點M表示的數為4，點N表示的數為﹣2，動點P表示的數為x．

請從A，B兩題中任選一題作答，我選擇　 　題．

A．①若點P在點M，N兩點之間，則|PM|+|PN|=　 　；

②若|PM|=2|PN|，即點P到點M的距離等于點P到點N的距離的2倍，則x等于　 　．

B．①若點P在點M，N之間，則|x+2|+|x﹣4|=　 　；

若|x+2|+|x﹣4|═10，則x=　 　；

②根據閱讀材料及上述各題的解答方法，|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值等于　 　．

Answer 1

【答案】(1)5； |x+5|；1或﹣3；(2)A．①6；②0或-8；B．①6； 6或﹣4；②8．

【解析】

(1)根據數軸上A、B兩點之間的距離|AB|=|a-b|，代入數值運用絕對值可求任意兩點間的距離；

(2)A：①點P在M、N兩點之間，|PM|+|PN|即是M與N之間的距離；②分點P在M、N之間和點P在N左側兩種情況；

B：①根據數軸上絕對值的幾何意義進行解答；②當-2≤x≤4時，原式才有最小值8.

解：(1)根據絕對值的定義：

數軸上有理數﹣10與﹣5對應的兩點之間的距離等于5；

數軸上有理數x與﹣5對應的兩點之間的距離用含x的式子表示為|x+5|；

A，B之間的距離|AB|=2，則x等于1或﹣3；

(2)A．①若點P在點M，N兩點之間，則|PM|+|PN|=6；

②若|PM|=2|PN|，P在MN之間或在N左側，則x等于0或-8；

B．①若點P在點M，N之間，則|x+2|+|x﹣4|=6；

若|x+2|+|x﹣4|═10，則x=6或﹣4；

②|x+2|+|x|+|x﹣2|+|x﹣4|的最小值，

即：x與4，2，0，﹣2之間距離和最小，這個最小值8．

故答案為：(1)5； |x+5|；1或﹣3；(2)A．①6；②0或-8；B．①6； 6或﹣4；②8．