Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，連接OD．

（1）過點C作射線CF交BA的延長線于點F，且使得∠ECF=∠AOD；（要求尺規作圖，不寫作法）

（2）求證：CF是⊙O的切線；

（3）若OE：AE=1：2，且AF=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）證明見解析（3）3

【解析】

（1）連接OC，根據尺規作圖方法，作∠ECF=∠AOD，交BA的延長線于點F即可.

(2)通過證明∠OCF=90°即可.

（3），由OE：AE=1：2可知OA=3AE，由△OCE∽△OFC可知OF=3OC，可求出OE的長度進而求出OA即可.

（1）解：如圖直線CF即為所求；

（2）∵OC=OD

∴∠OCE=∠ODE

∵CD⊥AB

∴∠DOE+∠ODE=90°

∵∠ECF=∠AOD，∠OCE=∠ODE

∴∠OCE+∠ECF=90°，即∠OCF=90°，

∴直線CF是⊙O的切線．

（3）解：設OE=a，則AE=2a，OC=OA=3a．

∵△OCE∽△OFC，

∴

∴OF=3OC，

∴6+3a=9a，

∴a=1，

∴OC=3．