Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線AB：y＝kx+3（k≠0）交x軸于點A（4，0），交y軸正半軸于點B，過點C（0，2）作y軸的垂線CD交AB于點E，點P從E出發，沿著射線ED向右運動，設PE＝n．

（1）求直線AB的表達式；

（2）當△ABP為等腰三角形時，求n的值；

（3）若以點P為直角頂點，PB為直角邊在直線CD的上方作等腰Rt△BPM，試問隨著點P的運動，點M是否也在直線上運動？如果在直線上運動，求出該直線的解析式；如果不在直線上運動，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+3；（2）n=或+或﹣+2；（3）在直線上，理由見解析

【解析】

（1）將點A的坐標代入直線AB：y=kx+3并解得：k=﹣，即可求解；

（2）分AP=BP、AP=AB、AB=BP三種情況，分別求解即可；

（3）證明△MHP≌△PCB（AAS），求出點M（n+，n+），即可求解．

（1）將點A的坐標代入直線AB：y=kx+3并解得：k=﹣，

故AB的表達式為：y=﹣x+3；

（2）當y=2時，x=，故點E（，2），則點P（n+，2），

而點A、B坐標分別為：（4，0）、（0，3），

則AP2=（+n﹣4）2+4；BP2=（n+）2+1，AB2=25，

當AP=BP時，（+n﹣4）2+4=（n+）2+1，解得：n=；

當AP=AB時，同理可得：n=（不合題意值已舍去）；

當AB=BP時，同理可得：n=﹣+2；

故n＝或+或﹣+2；

（3）在直線上，理由：

如圖，過點M作MD⊥CD于點H，

∵∠BPC+∠PBC=90°，∠BPC+∠MPH=90°，

∴∠CPB=∠MPH，BP=PM，∠MHP=∠PCB=90°

∴△MHP≌△PCB（AAS），

則CP=MH=n+，BC=1=PH，

故點M（n+，n+），

n++1= n+，

故點M在直線y=x+1上．