Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線,MN經過點C，且AD⊥MN于點D，BE⊥MN于點E。

（1）當直線MN繞點C旋轉到如圖1的位置時，求證：DE=AD+BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉到如圖2的位置時，求證：DE＝AD－BE；

（3）當直線MN繞點C旋轉到如圖3的位置時，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數量關系？請你寫出這個數量關系，并證明

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）DE=BE-AD，理由見詳解.

【解析】

（1）利用垂直的定義得∠ADC=∠CEB=90°，則根據互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根據等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根據“AAS”可判斷△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代換得到DE=AD+BE；

（2）與（1）一樣可證明△ADC≌△CEB，則CD=BE，AD=CE，于是有DE=CE-CD=AD-BE；

（3）與（1）一樣可證明△ADC≌△CEB，則CD=BE，AD=CE，于是有DE=CD-CE=BE-AD．

（1）證明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CE+CD=AD+BE；

（2）證明：與（1）同理，可證明△ADC≌△CEB，

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）DE=BE-AD

證明：與（1）同理，可證明△ADC≌△CEB，

∴CD=BE，AD=CE，

∴DE=CD-CE=BE-AD．