Question

使得函數值為零的自變量的值稱為函數的零點．例如，對于函數y=x-1，令y=0，可得x=1，我們就說1是函數y=x-1的零點．
己知函數y=x²-2mx-2（m+3）（m為常數）．
（1）當m=0時，求該函數的零點；
（2）證明：無論m取何值，該函數總有兩個零點；
（3）設函數的兩個零點分別為x₁和x₂，且

1

x1

+

1

x2

=-

1

4

，此時函數圖象與x軸的交點分別為A、B（點A在點B左側），點M在直線y=x-10上，當MA+MB最小時，求直線AM的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）根據題中給出的函數的零點的定義，將m=0代入y=x²-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函數的零點；
（2）令y=0，函數變為一元二次方程，要想證明方程有兩個解，只需證明△＞0即可；
（3）根據題中條件求出函數解析式進而求得A、B兩點坐標，個、作點B關于直線y=x-10的對稱點B′，連接AB′，求出點B′的坐標即可求得當MA+MB最小時，直線AM的函數解析式．

解答：解：（1）當m=0時，該函數的零點為

6

和-

6

；

（2）令y=0，得△=（-2m）²-4[-2（m+3）]=4（m+1）²+20＞0
∴無論m取何值，方程x²-2mx-2（m+3）=0總有兩個不相等的實數根．
即無論m取何值，該函數總有兩個零點．

（3）依題意有x₁+x₂=2m，x₁x₂=-2（m+3）
由

1

x1

+

1

x2

=-

1

4

，
解得m=1．
∴函數的解析式為y=x²-2x-8．
令y=0，解得x₁=-2，x₂=4
∴A（-2，0），B（4，0）
作點B關于直線y=x-10的對稱點B′，連接AB′，
則AB’與直線y=x-10的交點就是滿足條件的M點．
易求得直線y=x-10與x軸、y軸的交點分別為C（10，0），D（0，-10）．
連接CB′，則∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B′CD=∠BCD=45°
∴∠BCB′=90°
即B′（10，-6）
設直線AB′的解析式為y=kx+b，則

-2k+b=0 10k+b=-6

，
解得：k=-

1

2

，b=-1；
∴直線AB′的解析式為y=-

1

2

x-1，
即AM的解析式為y=-

1

2

x-1．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點方程有兩個實數根的證明及動點問題等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合等數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．