Question

如圖，已知二次函數y=a（x²-6x+8）(a>0)的圖象與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）若S_△ABC=8，則過A、B、C三點的圓是否與拋物線有第四個交點D？若存在，求出D點坐標；若不存在，說明理由．
（3）將△OAC沿直線AC翻折，點O的對應點為O＇．
①若O＇落在該拋物線的對稱軸上，求實數a的值；
②是否存在正整數a，使得點O＇落在△ABC的內部，若存在，求出整數a的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

(1) A（2，0），B（4，0）;(2) D（6，8）；（3），不存在．

解析試題分析：
（1）令y=0，則x²-6x+8=0，
解得：x₁=2，x₂=4，
∴A（2，0），B（4，0）
（2）∵S_△ABC=AB·OC=×2×8a=8，
∴a=1，C(0，8)
∵拋物線與圓均為軸對稱圖形，都關于直線x=3對稱，
∴圓與拋物線第四個交點為D（6，8）
（3）①將△OAC沿直線AC翻折，點O的對應點O′落在對稱軸x=3上，
∴AE=1，AO="2"
在Rt O′AE中，∠O′AM=60°
∴∠CAO=60°

∴a=
②過A點作AF⊥BC，E為垂足，
∴AF=2＜AB，
即AF＜OA
∴不論a取何值，O點的對應點O′總落在△ABC的外部
∴這樣的整數a不存在．
考點：二次函數綜合題．