Question

如圖，已知拋物線（為常數，且）與軸從左至右依次交于A,B兩點，與軸交于點C，經過點B的直線與拋物線的另一交點為D.
（1）若點D的橫坐標為-5，求拋物線的函數表達式；
（2）若在第一象限的拋物線上有點P，使得以A，B，P為頂點的三角形與△ABC相似，求的值；
（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止. 當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

Answer 1

（1）；（2）或 ；（3）F.

解析試題分析：（1）根據點在曲線上點的坐標滿足方程的關系，依次求出的值得到直線的解析式、點D的縱坐標、的值得到拋物線的函數表達式.
∵BM=9，AB=6，∴BF=，BD=，AF=
（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC兩種情況討論即可.
（3）過點D作DH⊥y軸于點H，過點A作AG⊥DH于點G，交BD于點F，則點F即為所求，理由是，由于點M在線段AF上以每秒1個單位的速度運動，在線段FD上以每秒2個單位的速度運動，從而根據直線BD的傾斜角是30°知道，又根據垂直線段最短的性質知點F即為所求，從而根據含30°直角三角形的性質求解即可.
試題解析：（1）∵拋物線（為常數，且）與軸從左至右依次交于A,B兩點，
∴A（-2，0），B（4，0）.
∵點B在直線上，∴，即.
∴直線的解析式為.
∵點D在直線上，且橫坐標為-5，∴縱坐標為.
∵點D在拋物線上，∴，解得.
∴拋物線的函數表達式為.
（2）易得，點C的坐標為，則.
設點P的坐標為，
分兩種情況：
①若△PAB∽△ABC，則∠PAB=∠ABC，.
∴由∠PAB=∠ABC 得，即.
∴，解得.
此時點P的坐標為，，
∴由得，解得.
②若△PAB∽△BAC，則∠PAB=∠BAC，.
∴由∠PAB=∠BAC 得，即.
∴，解得.
此時點P的坐標為，，
∴由得，解得.

（3）如圖，過點D作DH⊥y軸于點H，過點A作AG⊥DH于點G，交BD于點F，則點F即為所求.
∵直線BD的解析式為，∴∠FBA=∠FGD=30°.
∵AB=6，∴AF=.
∴點F的坐標為.

考點：1.單動點問題；2.二次函數和一次函數交點問題；3.曲線上點的坐標與方程的關系；4.勾股定理；5.相似三角形的判定；6.垂直線段最短的性質；7.分類思想和數形結合思想的應用.