Question

【題目】如圖，在直角邊分別為3和4的直角三角形中，每多作一條斜邊上的高就增加一個三角形的內切圓，依次類推，圖10中有10個直角三角形的內切圓，它們的面積分別記為,,,…, ，則= .

Answer 1

【答案】π

【解析】（1）如下圖1，∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴由勾股定理可得：AB=.

設△ABC的內切圓O的半徑為，則，

∴S⊙O= .

（2）如下圖2，過點C作CD⊥AB于點D，則由S△ABC=AC·BC=AB·CD可得： CD，解得：CD=，

∴在Rt△ACD和Rt△BCD中，由勾股定理可解得：AD=，BD=，

設⊙O1的半徑為，⊙O2的半徑為 ，則 ， ，

∴S⊙O1+S⊙O2= .

（3）如圖3，過點D作DE⊥BC于點E，設三個圓的半徑分別為 ，則同（2）可知，可解得DE=，CE=，BE=，由此解得， ，

∴S⊙O1+S⊙O2+ S⊙O3= .

（4）綜上所述，在圖4中，S1+S2+S3+S4= ；

在圖10中，S1+S2+S3++S10= .