Question

【題目】如圖，點(diǎn)A（﹣10，0），B（﹣6，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°．點(diǎn)P從點(diǎn)Q（8，0）出發(fā)，沿x軸向左以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)∠BCP=15°，求t的值；

（3）以點(diǎn)P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）C（0，6）；（2）t的值為8+2或8+6．（3）t的值為2或8或11.2．

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，易得∠BCO=∠CBO=45°，則可求得OC=OB=6，即可求得答案；

（2）分別從當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)與左側(cè)時(shí)去分析求解，借助于三角函數(shù)的知識(shí)，即可求得答案；

（3）分別從當(dāng)⊙P與BC相切于點(diǎn)C時(shí)，則∠BCP=90°，當(dāng)⊙P與CD相切于點(diǎn)C時(shí)，有PC⊥CD，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，當(dāng)⊙P與AD相切時(shí)，由題意得：∠DAO=90°，去分析求解即可求得答案．

解：（1）∵∠BOC=90°，∠CBO=45°，

∴∠BCO=∠CBO=45°，

∵B（﹣6，0），

∴OC=OB=6，

又∵點(diǎn)C在y軸的正半軸上，

∴C（0，6）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，

∵∠BCO=45°，∠BCP=15°，

∴∠POC=30°，

∴OP=OCtan∠POC=6×=2，

∴t1=8+2，

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，

∵∠BCO=45°，∠BCP=15°，

∴∠POC=60°，

∴OP=OCtan∠POC=6×=6，

∴t2=8+6，

綜上所述：t的值為8+2或8+6．

（3）由題意知：若⊙P與四邊形ABCD的邊都相切，有以下三種情況：

①當(dāng)⊙P與BC相切于點(diǎn)C時(shí)，則∠BCP=90°，

∵∠OCB=45°，

∴∠OCP=45°，

∴OP=OB=6，

此時(shí)t1=8﹣6=2；

②當(dāng)⊙P與CD相切于點(diǎn)C時(shí)，有PC⊥CD，即點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，

此時(shí)t2=8；

③當(dāng)⊙P與AD相切時(shí)，由題意得：∠DAO=90°，

∴點(diǎn)A為切點(diǎn)，

設(shè)OP=x，則PA=PC=10﹣x，

∴62+x2=（10﹣x）2，

∴x=3.2，

∴OP=3.2，

∴t3=8+3.2=11.2；

綜上所述：t的值為2或8或11.2．