Question

【題目】如圖，點P在⊙O的直徑BA延長線上，PC與⊙O相切，切點為C，點D在⊙O上，連接PD、BD，已知PC=PD=BC．下列結論：
①PD與⊙O相切；
②四邊形PCBD是菱形；
③PO=AB；
④∠PDB=120°．
其中，正確的個數是（ ）

A.4個
B.3個
C.2個
D.1個

Answer 1

【答案】A
【解析】解：①連接CO，DO，

∵PC與⊙O相切，切點為C，
∴∠PCO=90°，
在△PCO和△PDO中，
∵ ，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴PD與⊙O相切，
故①正確；
②由①得：∠CPB=∠BPD，
在△CPB和△DPB中，
∵ ，
∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC=BD，
∴PC=PD=BC=BD，
∴四邊形PCBD是菱形，
故②正確；
③連接AC，
∵PC=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
在△PCO和△BCA中，
∵ ，
∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC=CO，
∴AC=CO=AO，
∴∠COA=60°，
∴∠CPO=30°，
∴CO= PO= AB，
∴PO=AB，
故③正確；
④∵四邊形PCBD是菱形，∠CPO=30°，
∴DP=DB，則∠DPB=∠DBP=30°，
∴∠PDB=120°，
故④正確；
正確個數有4個，
故答案為：A．
①連接CO，DO，在△PCO和△PDO中，根據邊邊邊可得△PCO≌△PDO，由全等三角形的性質可得∠PCO=∠PDO=90°，根據切線的判斷可得PD與⊙O相切，則①符合題意；在△CPB和△DPB中，根據邊角邊可證△CPB≌△DPB，則BC=BD，結合已知條件可得PC=PD=BC=BD，由菱形的判定可得四邊形PCBD是菱形，所以②符合題意；在△PCO和△BCA中，用角邊角可證△PCO≌△BCA，由全等三角形的性質可得AC=CO，那么有AC=CO=AO，所以∠COA=60°，∠CPO=30°，根據直角三角形中,30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可得CO= PO= AB，所以PO=AB，故③符合題意；根據四邊形PCBD是菱形可得DP=DB，結合∠CPO=30°可得∠DPB=∠DBP=30°，則∠PDB=120°，所以④符合題意。所以符合題意的選項是A。