Question

【題目】已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于點E．

（1）∠B= 度．

（2）如圖1，若點D在斜邊BC上，DM垂直平分BE，垂足為M．求證：BD=AE；

（3）如圖2，過點B作BF⊥CE，交CE的延長線與點F．若CE=6，求△BEC的面積．

Answer 1

【答案】（1）45；（2）見解析；（3）9．

【解析】

試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質解答即可；

（2）連接DE，由∠BAC=90°，AB=AC，可得∠B=45°，由DM垂直平分BE，可得BD=DE，進而判斷△BDE是等腰直角三角形，所以ED⊥BD，然后由角平分線的性質可得ED=AE，根據等量代換可得BD=AE；

（3）延長BF，CA，交與點G，由CE平分∠ACB，可得∠ACE=∠BCE，由BF⊥CE，可得∠BFC=∠GFC=90°，然后由三角形內角和定理可得：∠GBC=∠G，進而可得BC=GC，然后由等腰三角形的三線合一，可得BF=FG=BG，所以BG=2BF=2FG=4，然后再由ASA，可證△ACE≌△ABG，可得EC=BG=4，最后根據三角形的面積公式即可求△BEC的面積．

解：（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=45°，

故答案為：45；

（2）連接ED，如圖1，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵DM垂直平分BE，

∴BD=ED，

∴∠BED=∠B=45°，

∴∠EDC=∠B+∠BED=90°，

∵CE平分∠ACB，∠BAC=90°，∠EDC=90°，

∴ED=EA，

∴BD=AE；

（3）延長BF和CA交于點G，如圖2，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACF=∠BCF，

∵BF⊥CE，

∴∠BFC=∠GFC=90°，

∴∠CBG=∠CGB，

∴CG=CB，

∴BF=GF=BG，

∵∠GFC=∠GAB=90°，

∴∠ACF+∠G=90°，

∴∠ABG+∠G=90°，

∴∠ACF=∠ABG，

在△ACE和△ABG中

∠ACE=∠ABG

AC=AB

∠EAC=∠GAB

∴△ACE≌△ABG（ASA），

∴CE=BG，

∴CE=2BF，

∵CE=6，

∴BF=CE=3，

．