Question

【題目】平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，點A，C的坐標分別為（-3，0），（0，3），對稱軸直線x=-1交x軸于點E，點D為頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點K是直線AC下方的拋物線上一點，且S△KAC=S△DAC求點K的坐標；

（3）如圖2若點P是線段AC上的一個動點，∠DPM=30°，DP⊥DM，則點P的線段AC上運動時，D點不變，M點隨之運動，求當點P從點A運動到點C時，點M運動的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）點K的坐標為（，）或（，）；(3) ．

【解析】

試題分析：（1）根據條件可得到關于a、b、c的三元一次方程組，只需解這個方程組就可解決問題；

（2）過點D作DH⊥y軸于H，連接EK交y軸于F，連接EC，如圖1，運用割補法可求出△DAC的面積，易得S△ADC=S△AEC，由S△KAC=S△DAC，可得S△KAC=S△EAC，從而可得EK∥AC，根據平行線分線段成比例可求出OF，然后運用待定系數法可求出直線EK的解析式，只需求出直線EK與拋物線的交點坐標就可解決問題；

（3）設點P在點A處時點M在點M′，點P在點C處時點M在點M″，如圖2．易證△DPC∽△DMM″，△DAC∽△DM′M″，從而可得∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP，由于∠DCP是定值，因此點M的運動路徑是線段M′M″，然后只需根據△DM′M″∽△DAC，運用相似三角形的性質就可解決問題．

試題解析：（1）由題意可得，

解得，

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；

（2）過點D作DH⊥y軸于H，連接EK交y軸于F，連接EC，如圖1．

由y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4可得頂點D為（-1，4），

∴S△ADC=S梯形AOHD-S△OAC-S△DHC

=（1+3）×4-×3×3-×1×（4-3）=3．

又∵S△AEC=AEOC=×2×3=3，

∴S△ADC=S△AEC．

∵S△KAC=S△DAC，

∴S△KAC=S△EAC，

∴EK∥AC，

∴，

∴，

∴OF=1，F（0，1）．

設直線EK的解析式為y=mx+n，則有，

解得，

∴直線EK的解析式為y=x+1．

解方程組，得，

∴點K的坐標為（，）或（，）；

（3）設點P在點A處時點M在點M′，點P在點C處時點M在點M″，如圖2．

∵∠CDM″=∠PDM=90°，∠DPM=∠DCM″=30°，

∴，∠PDC=∠MDM″，

∴△DPC∽△DMM″，

∴∠DCP=∠DM″M．

同理可得△DAC∽△DM′M″，

∴∠DCA=∠DM″M′．

∴∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP，

∵∠DCP是定值，

∴點M的運動路徑是線段M′M″．

∵△DM′M″∽△DAC，

∴．

∵AC=，

∴M′M″=，

∴點M的運動路徑長為．