Question

【題目】如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，點D是AB邊的中點．

（1）如圖1，若CD=4，求△ACB的周長．

（2）如圖2，若E為AC的中點，將線段CE以C為旋轉中心順時針旋轉60°，使點E至點F處，連接BF交CD于點M，連接DF，取DF的中點N，連接MN，求證：MN=2CM．

（3）如圖3，以C為旋轉中心將線段CD順時針旋轉90°，使點D至點E處，連接BE交CD于M，連接DE，取DE的中點N，連接交MN，試猜想BD、MN、MC之間的關系，直接寫出其關系式，不證明．

Answer 1

【答案】（1）12+4；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】（1）根據直角三角形斜邊中線的性質，直角三角形30度角性質以及勾股定理即可解決問題．

（2）如圖2中，作BQ⊥CD于Q，FP∥MN交DC的延長線于P．首先證明△BQM≌△FCM，推出QC=2CM，再證明△BQC≌△FCP，推出PF=BC=2QC，再根據三角形中位線定理即可解決問題．

（3）結論：（BD）2+（BD-CM）2=MN2．作BQ⊥CD于Q，連接QN，只要證明△QMN是直角三角形，QN=BD，QM=BD-CM即可解決問題．

如圖1中，

在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，點D是AB邊的中點．

∴CD=BD=AD=4，BC=AB=4，

∴AC==，

∴△ABC的周長為4+8+4=12+4．

（2）證明：如圖2中，作BQ⊥CD于Q，FP∥MN交DC的延長線于P．

∵△BDC是等邊三角形，邊長為2，

∴高BQ=2，∠DCB=60°，∠ACD=30°

∵EA=EC=2，

∴CE=CF=BQ，

∵∠ECF=60°，∠ACD=30°，

∴∠DCF=90°，

∴∠BQM=∠MCF=90°，

在△BQM和△FCM中，

，

∴△BQM≌△FCM，

∴QM=MC．QC=2MC，

∵DN=NF，MN∥FP，

∴DM=MP，

∴DQ=CP=QC，

在△BQC和△FCP中，

，

∴△BQC≌△FCP，

∴PF=BC=DC=2QC，

∵MN=PF，

∴MN=QC=2CM．

（3）解：如圖3中，結論：（BD）2+（BD-CM）2=MN2．理由如下：

作BQ⊥CD于Q，連接QN，

∵△BDC是等邊三角形，

∴∠DBQ=30°，

∴DQ=QC=BD，

∵DC=CE，DC⊥CE，

∴∠CDE=∠CED=45°，

∵DQ=QC，DN=NE，

∴QN∥EC，

∴∠QDN=∠NQM=∠DCE=90°，

∴∠QDN=∠QND=45°，

∴QD=QN=BD，

∵QN2+QM2=MN2，

∴（BD）2+（BD-CM）2=MN2．