Question

如圖（1）已知，矩形ABDC的邊AC=3，對角線長為5，將矩形ABDC置于直角坐系內，點D與原點O重合．且反比例函數y=的圖象的一個分支位于第一象限．
（1）求點A的坐標；
（2）若矩形ABDC從圖（1）的位置開始沿x軸的正方向移動，每秒移動1個單位，1秒后點A剛好落在反比例函數y=的圖象的圖象上，求k的值；
（3）矩形ABCD繼續向x軸的正方向移動，AB、AC與反比例函數圖象分別交于P、Q如圖（2），設移動的總時間為t（1＜t＜5），分別寫出△BPD的面積S₁、△DCQ的面積S₂與t的函數關系式；
（4）在（3）的情況下，當t為何值時，S₂=S₁？

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OA，根據勾股定理求出OC，即可得出答案；
（2）求出A的坐標，把A的坐標代入反比例函數的解析式，求出k即可；
（3）求出BP，根據三角形的面積公式求出S₁即可；求出t秒后A的坐標，得出Q的橫坐標，代入解析式求出Q的縱坐標，求出CQ，根據三角形的面積公式求出S₂即可；
（4）把S₁、S₂代入已知，得出關于t的方程，求出t的值即可．
解答：解：（1）連接OA，OA=5，AC=3，
由勾股定理得：OC===4，
∴點A的坐標是（4，3）．

（2）4+1=5，
∴1秒后點A的坐標是（5，3），
代入y=得：3=，
∴k=15．

（3）∵A在雙曲線上時t=1，
∴AP=t-1，
BP=BA-AP=4-（t-1）=5-t，
∴S₁=BP×BD=×（5-t）×3=-t+，
t秒后A的坐標是（4+t，3），
把x=4+t代入y=得：y=，
∴Q的坐標是（4+t，），
∴S₂=×DC×CQ=×4×=，
即S₁=-t+，S₂=

（4）∵S₂=S₁，
∴=×（-t+），
解得：t=3，t=-2（舍去），
當t=3時，S₂=S₁．
點評：本題考查了用待定系數法求反比例函數的解析式，點的坐標，三角形的面積，矩形的性質等知識點的應用，熟練的運用性質進行計算是解此題的關鍵，主要考查了學生的計算能力和運用性質進行推理的能力，題目較好，難度適中．