Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=BD．點E、F分別在AB、AD上，且AE=DF．連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H．下列結論： ①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG= CG2；③若AF=2DF，則BG=6GF．
其中正確的結論（ ）

A.只有①②
B.只有①③
C.只有②③
D.①②③

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD． ∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴點B、C、D、G四點共圓，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．

∴CM=CN，
∵ ，
∴△CBM≌△CDN，（HL）
∴S四邊形BCDG=S四邊形CMGN ．
S四邊形CMGN=2S△CMG ，
∵∠CGM=60°，
∴GM= CG，CM= CG，
∴S四邊形CMGN=2S△CMG=2× × CG× CG= CG2 ．
③過點F作FP∥AE于P點．

∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即 BG=6GF．
故選D．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行線分線段成比例的相關知識，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例，以及對旋轉的性質的理解，了解①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．