Question

【題目】如圖，一次函數y=kx+b與反比例函數y=的圖象在第一象限交于點A（4，3），與y軸的負半軸交于點B，且OA=OB．

（1）求一次函數y=kx+b和y=的表達式；

（2）已知點C在x軸上，且△ABC的面積是8，求此時點C的坐標；

（3）反比例函數y=（1≤x≤4）的圖象記為曲線C1，將C1向右平移3個單位長度，得曲線C2，則C1平移至C2處所掃過的面積是_________．(直接寫出答案)

Answer 1

【答案】（1），；（2）點C的坐標為或；（3）27.

【解析】試題分析：（1）由點A的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出a值，從而得出反比例函數解析式；由勾股定理得出OA的長度從而得出點B的坐標，由點A、B的坐標利用待定系數法即可求出直線AB的解析式；
（2）設點C的坐標為（m，0），令直線AB與x軸的交點為D，根據三角形的面積公式結合△ABC的面積是8，可得出關于m的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出m值，從而得出點C的坐標；
（3）設點E的橫坐標為1，點F的橫坐標為6，點M、N分別對應點E、F，根據反比例函數解析式以及平移的性質找出點E、F、M、N的坐標，根據EM∥FN，且EM=FN，可得出四邊形EMNF為平行四邊形，再根據平行四邊形的面積公式求出平行四邊形EMNF的面積S，根據平移的性質即可得出C1平移至C2處所掃過的面積正好為S．

試題解析：

（1）∵點A（4，3）在反比例函數y=的圖象上，

∴a=4×3=12，

∴反比例函數解析式為y=；

∵OA==5，OA=OB，點B在y軸負半軸上，

∴點B（0，﹣5）．

把點A（4，3）、B（0，﹣5）代入y=kx+b中，

得： ，解得： ，

∴一次函數的解析式為y=2x﹣5．

（2）設點C的坐標為（m，0），令直線AB與x軸的交點為D，如圖1所示．

令y=2x﹣5中y=0，則x=，

∴D（，0），

∴S△ABC=CD（yA﹣yB）=|m﹣|×[3﹣（﹣5）]=8，

解得：m=或m=．

故當△ABC的面積是8時，點C的坐標為（，0）或（，0）．

（3）設點E的橫坐標為1，點F的橫坐標為6，點M、N分別對應點E、F，如圖2所示．

令y=中x=1，則y=12，

∴E（1，12），；

令y=中x=4，則y=3，

∴F（4，3），

∵EM∥FN，且EM=FN，

∴四邊形EMNF為平行四邊形，

∴S=EM（yE﹣yF）=3×（12﹣3）=27．

C1平移至C2處所掃過的面積正好為平行四邊形EMNF的面積．

故答案為：27．