Question

【題目】如圖（1），已知拋物線y=ax2+bx﹣3的對稱軸為x=1，與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C，一次函數y=x+1經過A，且與y軸交于點D．

（1）求該拋物線的解析式．
（2）如圖（2），點P為拋物線B、C兩點間部分上的任意一點（不含B，C兩點），設點P的橫坐標為t，設四邊形DCPB的面積為S，求出S與t的函數關系式，并確定t為何值時，S取最大值？最大值是多少？

（3）如圖（3），將△ODB沿直線y=x+1平移得到△O′D′B′，設O′B′與拋物線交于點E，連接ED′，若ED′恰好將△O′D′B′的面積分為1：2兩部分，請直接寫出此時平移的距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把y=0代入直線的解析式得：x+1=0，解得x=﹣1，

∴A（﹣1，0）．

∵拋物線的對稱軸為x=1，

∴B的坐標為（3，0）．

將x=0代入拋物線的解析式得：y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），將C（0，﹣3）代入得：﹣3a=﹣3，解得a=1，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

（2）

解：如圖1所示：連結OP．

將x=0代入直線AD的解析式得：y=1，

∴OD=1．

由題意可知P（t，t2﹣2t﹣3）．

∵四邊形DCPB的面積=△ODB的面積+△OBP的面積+△OCP的面積，

∴S= ×3×1+ ×3×（﹣t2+2t+3）+ ×3×t，整理得：S=﹣ t2+ t+6．

配方得：S=﹣ （t﹣ ）2+ ．

∴當t= 時，S取得最大值，最大值為 ．

（3）

解：如圖2所示：

設點D′的坐標為（a，a+1），O′（a，a）．

當△D′O′E的面積：D′EB′的面積=1：2時，則O′E：EB′=1：2．

∵O′B′=0B=3，

∴O′E=1．

∴E（a+1，a）．

將點E的坐標代入拋物線的解析式得：（a+1）2﹣2（a+1）﹣3=a，整理得：a2﹣a﹣4=0，解得：a= 或a= ．

∴O′的坐標為（ ， ）或（ ， ）．

∴OO′= 或OO′= ．

∴△DOB平移的距離為 或 ．

當△D′O′E的面積：D′EB′的面積=2：1時，則O′E：EB′=2：1．

∵O′B′=0B=3，

∴O′E=2．

∴E（a+2，a）．

將點E的坐標代入拋物線的解析式得：（a+2）2﹣2（a+2）﹣3=a，整理得：a2﹣a﹣4=0，解得：a= 或a= ．

∴O′的坐標為（ ， ）或（ ， ）．

∴OO′= 或OO′= ．

∴△DOB平移的距離為 或 ．

綜上所述，當△D′O′B′沿DA方向平移 或 單位長度，或沿AD方向平移 或 個單位長度時，ED′恰好將△O′D′B′的面積分為1：2兩部分．

【解析】（1）先求得點A的坐標，然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標，然后求得點C的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），將C（0，﹣3）代入求得a的值即可；（2）連結OP．先求得點D的坐標，從而可得到OD的長，設P（t，t2﹣2t﹣3），然后依據四邊形DCPB的面積=△ODB的面積+△OBP的面積+△OCP的面積可得到S與t的函數關系式，利用配方法可求得S的最大值以及對應的t的值；（3）設點D′的坐標為（a，a+1），O′（a，a），當△D′O′E的面積：D′EB′的面積=1：2時，E（a+1，a），將點E的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到O′的坐標，然后求得OO′的長即可，當△D′O′E的面積：D′EB′的面積=2：1時，E（a+2，a），同理可求得OO′的長，從而可得到△B′O′D′平移的距離．