Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底邊DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH：AC=2：3
（1）延長HF交AB于G，求△AHG的面積．
（2）操作：固定△ABC，將直角梯形DEFH以每秒1個單位的速度沿CB方向向右移動，直到點D與點B重合時停止，設運動的時間為t秒，運動后的直角梯形為DEFH′（如圖）．
探究1：在運動中，四邊形CDH′H能否為正方形？若能，請求出此時t的值；若不能，請說明理由．
探究2：在運動過程中，△ABC與直角梯形DEFH′重疊部分的面積為y，求y與t的函數關系．

Answer 1

解：（1）∵AH：AC=2：3，AC=6
∴AH=AC=×6=4
又∵HF∥DE，
∴HG∥CB，
∴△AHG∽△ACB
∴=，即=，
∴HG=
∴S_△AHG=AH•HG=×4×=．

（2）①能為正方形
∵HH′∥CD，HC∥H′D，
∴四邊形CDH′H為平行四邊形
又∠C=90°，
∴四邊形CDH′H為矩形
又CH=AC-AH=6-4=2
∴當CD=CH=2時，四邊形CDH′H為正方形
此時可得t=2秒時，四邊形CDH′H為正方形．
②（Ⅰ）∵∠DEF=∠ABC，
∴EF∥AB
∴當t=4秒時，直角梯形的腰EF與BA重合．
當0≤t≤4時，重疊部分的面積為直角梯形DEFH′的面積．
過F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC===
∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE-ME=4-=
∴直角梯形DEFH′的面積為（4+）×2=
∴y=．
（Ⅱ）∵當4＜t≤5時，重疊部分的面積為四邊形CBGH的面積一矩形CDH′H的面積．
而S_邊形CBGH=S_△ABC-S_△AHG=×8×6-=
S_{矩形CDH′H}?=2t
∴y=-2t．
（Ⅲ）當5＜t≤8時，如圖，設H′D交AB于P，
BD=8-t
又=tan∠ABC=
∴PD=DB=（8-t）
∴重疊部分的面積y=S??
△PDB=PD•DB
=•（8-t）（8-t）
=（8-t）²=t²-6t+24．
∴重疊部分面積y與t的函數關系式：
y=．
分析：（1）由于三角形AHG和ACB相似，可通過相似比求出HG的值，然后根據三角形的面積計算公式即可求出三角形AHG的面積．
（2）①首先四邊形CDH′H是個矩形，如果使四邊形CDH′H成為正方形，那么需滿足的條件是CD=DH′，可先根據AH：AC的值，求出HC的長即H′D的長，然后除以梯形的速度即可求出t的值．
②要分三種情況進行討論：
一：當E在三角形ABC內部時，即當0≤t≤4時，重合部分是整個直角梯形，因此可通過計算直角梯形的面積得出重合部分的面積．
二：當E在三角形ABC外部，且H′在G點左側或G點上時，即當4＜t≤5時，重合部分是直角梯形，其面積可用：四邊形CBGH的面積一矩形CDH′H的面積來求得．
三：當H′在G點右側一直到D與B重合的過程中，即當5＜t≤8時，重合部分是個直角三角形．可通過計算這個直角三角形的面積來得出關于S，t的函數關系式．
點評：本題著重考查了圖形平移變換、三角形相似以及二次函數的綜合應用等重要知識點，
要注意的是（2）中不確定直角梯形的位置時，要根據不同的情況進行分類討論，不要漏解．