Question

如圖，以正方形 ABCD的一邊向形外作等邊三角形CDE，AC與BE交于F，則圖中與∠AFD（包括∠AFD）相等的角的個數有

1. A.
   5
2. B.
   6
3. C.
   7
4. D.
   8

Answer 1

C
分析：由正方形及等邊三角形的邊長相等，且DD為兩圖形的公共邊，得到AD=AB=CD=AD=CE=DE，且正方形的四個角都為直角，等邊三角形的三內角都為60°，且由正方形的對角線平分一組對角，得到∠BAF=∠DAF，利用SAS可證明三角形ABF與三角形ADF全等，從而得到∠AFB=∠AFD，然后由∠BCD為直角，∠DCE為60°的角求出∠BCE的度數，根據BC=EC，求出∠CBE的度數，由三角形的外角性質得到∠AFB為60°，∠AFB=∠AFD=60°，根據平角定義得到∠DFE也為60°，再利用對頂角相等得到∠CFE也為60°，最后加上等邊三角形的三內角都為60°，得到所有與∠AFD（包括∠AFD）相等的角的個數即可．
解答：∵四邊形ABCD是正方形，三角形DCE為等邊三角形，
∴AB=BC=CD=AD=DE=CE，∠BCD=90°，∠BAF=∠DAF=45°，∠DCE=∠DEC=∠CDE=60°，
在△ABF與△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠AFD=∠AFB，
∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，
∴∠CBE=15°，
∵∠ACB=45°，
∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°，
∴∠AFD=∠AFB=60°，
∴∠EFD=60°，且∠AFB=∠EFC=60°（對頂角相等），
則圖中與∠AFD（包括∠AFD）相等的角有：
∠DCE，∠DEC，∠CDE，∠AFD，∠DFE，∠AFB，∠EFC，共7個．
故選C
點評：此題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，外角性質，以及對頂角的性質，借助圖形，靈活運用性質求出∠AFD的度數是解本題的關鍵．本題還要注意答案要找全，不能漏解．