Question

如圖，以正方形ABCD的邊AB為直徑作⊙O，E是⊙O上的一點，EF⊥AB于F，AF＞BF，作直線DE交BC于點G．若正方形的邊長為10，EF=4．
（1）分別求AF、BF的長．
（2）求證：DG是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）已知直徑易知半徑．連接OE，在Rt△OEF中運用勾股定理求OF，再求AF，BF；
（2）欲證DG為切線，則證OE⊥DG．連接OD，證明△OAD≌△OED即可．已有兩邊對應相等，只需證明DE=AD．為此作EH⊥AD于H，運用勾股定理可證．

解答：（1）解：連接OE．
∵正方形邊長為10，AB是直徑，
∴OB=OE=5．
∵EF⊥AB，EF=4，
∴OF=

52-42

=3，
∴BF=2，AF=8；

（2）證明：連接OD，作EH⊥AD于H點．
∵四邊形AFED為直角梯形，
∴EH=AF=8，HD=10-4=6．
∴DE=

62+82

=10．
∴AD=DE．
又OA=OE，OD公共邊，
∴△OAD≌△OED，
∴∠OED=∠OAD=90°，
∴DG是⊙O的切線．

點評：此題考查了正方形的性質、圓的切線的判定、勾股定理等知識點，綜合性較強，難度較大．