Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，拋物線經過點D（﹣2，﹣3）和點E（3，2），點P是第一象限拋物線上的一個動點．

（1）求直線DE和拋物線的表達式；

（2）在y軸上取點F（0，1），連接PF，PB，當四邊形OBPF的面積是7時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，當點P在拋物線對稱軸的右側時，直線DE上存在兩點M，N（點M在點N的上方），且MN＝2，動點Q從點P出發，沿P→M→N→A的路線運動到終點A，當點Q的運動路程最短時，請直接寫出此時點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣1，y＝x2+x+2；（2）P（2，3）或（，）；（3）N（，）．

【解析】

（1）將點D、E的坐標代入函數表達式，即可求解；

（2）S四邊形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO，即可求解；

（3）過點M作A′M∥AN，過作點A′直線DE的對稱點A″，連接PA″交直線DE于點M，此時，點Q運動的路徑最短，即可求解．

（1）將點D、E的坐標代入函數表達式得：，解得：

，故拋物線的表達式為：y＝x2+x+2，

同理可得直線DE的表達式為：y＝x﹣1…①；

（2）如圖1，連接BF，過點P作PH∥y軸交BF于點H，

將點FB代入一次函數表達式，

同理可得直線BF的表達式為：y＝+1，

設點P（x，），則點H（x，+1），

S四邊形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO＝2+2（）＝7，

解得：x＝2或，

故點P（2，3）或（，）；

（3）當點P在拋物線對稱軸的右側時，點P（2，3），

過點M作A′M∥AN，過作點A′直線DE的對稱點A″，連接PA″交直線DE于點M，此時，點Q運動的路徑最短，

∵MN＝2，相當于向上、向右分別平移2個單位，故點A′（1，2），

A′A″⊥DE，則直線A′A″過點A′，則其表達式為：y＝﹣x+3…②，

聯立①②得x＝2，則A′A″中點坐標為（2，1），

由中點坐標公式得：點A″（3，0），

同理可得：直線AP″的表達式為：y＝﹣3x+9…③，

聯立①③并解得：x＝，即點M（，），

點M沿BD向下平移2個單位得：N（，）．