Question

【題目】如圖1，點EF在直線l的同一側，要在直線l上找一點K，使KE與KF的距離之和最小，我們可以作出點E關于l的對稱點E′，連接FE′交直線L于點K，則點K即為所求．

（1）（實踐運用）拋物線y=ax2+bx+c經過點A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）．如圖2．

①求該拋物線的解析式；

②在拋物線的對稱軸上找一點P，使PA+PC的值最小，并求出此時點P的坐標及PA+PC的最小值．

（2）（知識拓展）在對稱軸上找一點Q，使|QA﹣QC|的值最大，并求出此時點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①y=x2﹣2x﹣3，②點P的坐標為（1，﹣2），PA+PC的最小值為3；（2）點Q的坐標為（1，﹣6）．

【解析】分析：（1）①由點A、B的坐標可將拋物線的解析式變形為交點式，代入點C的坐標即可求出a值，此題得解；

②由點A、B關于拋物線的對稱軸對稱可得出連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時PA+PC的值最小，根據拋物線的解析式可求出其對稱軸為直線x=1，由點B、C的坐標利用待定系數法可求出過點B、C的直線的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出點P的坐標，再利用勾股定理求出線段BC的長即可；

（2）連接AC并延長AC交拋物線對稱軸與點Q，此時|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值為線段AC的長（三角形兩邊之差小于第三邊），由點A、C的坐標利用待定系數法可求出過點A、C的直線的解析式，代入x=1求出y值，由此即可得出點Q的坐標，此題得解．

詳解：（1）①∵拋物線與x軸的交點為A（﹣1，0）、B（3，0），∴拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3）．

∵拋物線過點C（0，﹣3），∴﹣3=（0+1）×（0﹣3）a，∴a=1，∴該拋物線的解析式為y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．

②∵點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，∴連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時PA+PC的值最小，如圖3所示．

∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的對稱軸為直線x=1．

利用待定系數法可求出過點B、C的直線為y=x﹣3，當x=1時，y=x﹣3=1﹣3=﹣2，∴點P的坐標為（1，﹣2），PA+PC的最小值為BC==3．

（2）連接AC并延長AC交拋物線對稱軸與點Q，此時|QA﹣QC|的值最大，且|QA﹣QC|的最大值為線段AC的長，如圖4所示．

利用待定系數法可求出過點A、C的直線為y=﹣3x﹣3，當x=1時，y=﹣3x﹣3=﹣3×1﹣3=﹣6，∴點Q的坐標為（1，﹣6）．