Question

如圖1，在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線；
（1）填寫下面的表格．

∠A的度數	50°	60°	70°
∠BOC的度數

（2）試猜想∠A與∠BOC之間存在一個怎樣的數量關系，并證明你的猜想；
（3）如圖2，△ABC的高BE、CD交于O點，試說明圖中∠A與∠BOD的關系．

Answer 1

分析：（1）由∠A=90°+

1

2

∠BOC，代入數值即可求得答案；
（2）由在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，根據三角形的內角和定理即可求得∠OBC+∠OCB的值，然后在△OBC中，再利用三角形的內角和定理，即可求得答案；
（3）由△ABC的高BE、CD交于O點，即可得∠BDC=∠BEA=90°，然后利用同角的余角相等，即可求得∠A與∠BOD的關系．

解答：解：（1）

∠A的度數	50°	60°	70°
∠BOC的度數	115°	120°	125°

（2）猜想：∠BOC=90°+

1

2

∠A．
理由：∵在△ABC中，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線；
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A．

（3）證明：∵△ABC的高BE、CD交于O點，
∴∠BDC=∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BOD=90°，∠ABE+∠A=90°，
∴∠A=∠BOD．

點評：此題考查了三角形的內角和定理與同角的余角相等，以及角平分線的定義．此題難度適中，解題的關鍵是整體思想與數形結合思想的應用．