Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD=4cm，∠BAD=∠B=∠C=∠ADC=90°，點P以1cm/s的速度自點A向終點B運動，點Q同時以1cm/s的速度自點B向終點C運動，連接AQ、DP，設運動時間為t s．

（1）當t=　 　s時，點P到達點B；

（2）求證：在運動過程中，△ABQ≌△DAP始終成立；

（3）如圖2，作QM∥PD，且QM=PD，作MN⊥射線BC于點N，連接CM，請問在Q的運動過程中，∠MCN的度數是否改變？如果不變，請求出∠MCN；如果改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）證明見解析；（3）∠MCN=45°．

【解析】

（1）根據AB=4cm，點P以1cm/s的速度自點A向終點B運動計算即可；

（2）根據題意得到AP=BQ，利用SAS定理證明；

（3）根據全等三角形的性質得到QM=AQ，∠AQB=∠QMN，證明△AQB≌△QMN，根據全等三角形的性質得到QN=AB，MN=BQ，結合圖形證明即可．

（1）∵AB=4cm，點P以1cm/s的速度自點A向終點B運動，

∴點P到達點B所用的時間為：4÷1=4（s），

故答案為：4；

（2）在運動過程中，AP=BQ=t，

在△ABQ和△DAP中，

，

∴△ABQ≌△DAP；

（3）∠MCN的度不改變，始終為45°，

理由如下：∵△ABQ≌△DAP，

∴AQ=DP，

∵QM=PD，

∴QM=AQ，

∵△ABQ≌△DAP，

∴∠BAQ=∠ADP，

∵∠BAQ+∠DAQ=90°，

∴∠ADP+∠DAQ=90°，即∠AED=90°，

∵QM∥PD，

∴∠AQM=∠AED=90°，

∴∠AQB+∠MQN=90°，

∴∠AQB=∠QMN，

在△AQB和△QMN中，

，

∴△AQB≌△QMN，

∴QN=AB，MN=BQ，

∴BC=QN，

∴BC-QC=QN-QC，即BQ=CN，

∴MN=CN，

∴∠MCN=45°．