Question

【題目】（1）如圖1，在中，分別以、為斜邊，向的形外作等腰直角三角形，直角的頂點分別為，點分別為邊的中點.問： 是否全等？____（填“是”或“否”）；

（2）如圖2，在中，分別以為底邊，向的形外作等腰三角形，頂角的頂點分別為，且.點分別為 邊的中點.

①試判斷是否滿足（1）中的關系？若滿足，請說明理由；若不滿足，請寫之間存在的一種關系，并加以說明.

②若， ， 的面積為32，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）是；（2）①否， 相似，理由見解析；②.

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易證：DF=AF=GM，FM=AG=GE，∠DFB=∠EGC=90°，∠BFM=∠BAC=∠MGC，從而可得∠DFM=∠EGM，由此即可由“SAS”證得△DFM≌△MGE；

（2）①同（1）可證得∠DFM=∠MGE，由∠BAD+∠CAE=90°，結合∠AGE=90°，可證得∠DAF=∠AEG，從而可得tan∠DAF=tan∠AEG，由此可得，結合AF=GM，AG=FM可得，這樣即可證得△DFM∽△MGE了；

②由AB=6易得AF=MG=3，結合AD=5，在Rt△ADF中易得DF=4，從而可得DF：MG=4：3，結合△DFM∽△MGE即可由△DFM的面積求得△MGE的面積了.

試題解析：

（1）是，理由如下：

∵△ABD、△AEC分別是以AB和AC為斜邊的等腰直角三角形，點F、M、G分別是AB、BC、AC的中點，

∴DF=AF=GM，FM=AG=GE，∠DFB=∠EGC=90°，FM∥AC，MG∥AB，

∴∠BFM=∠BAC=∠MGC，

∴∠DFB+∠BFM=∠MGC+∠EGC，即∠DFM=∠EGM，

∴△DFM≌△MGE；

故答案為：“是”；

（2）①否， 相似；

理由：∵都是等腰三角形，且為的中點，

∴，∵點分別為邊的中點，

∴,

∴,

∴，

即，

∵,，

∴，

∴，

∴，

即，

又∵，

∴；

②∵，

∴，

∴在中， ，

∵由①知，且的面積為32，

∴，

∴.