Question

已知關于x的一元二次方程（m-2）x²-（m-1）x+m=0．（其中m為實數）
（1）若此方程的一個非零實數根為k，
①當k=m時，求m的值；
②若記m(k+

1

k

)-2k+5為y，求y與m的關系式；
（2）當

1

4

＜m＜2時，判斷此方程的實數根的個數并說明理由．

Answer 1

（1）∵k為（m-2）x²-（m-1）x+m=0的實數根，
∴（m-2）k²-（m-1）k+m=0．+
①當k=m時，
∵k為非零實數根，
∴m≠0，方程兩邊都除以m，得（m-2）m-（m-1）+1=0．
整理，得m²-3m+2=0．
解得m₁=1，m₂=2．
∵（m-2）x²-（m-1）x+m=0是關于x的一元二次方程，
∴m≠2．
∴m=1．
②∵k為原方程的非零實數根，
∴將方程兩邊都除以k，得(m-2)k-(m-1)+

m

k

=0．
整理，得m(k+

1

k

)-2k=m-1．
∴y=m(k+

1

k

)-2k+5=m+4．

（2）解法一：△=[-（m-1）]²-4m（m-2）=-3m²+6m+1=-3m（m-2）+1．
當

1

4

＜m＜2時，m＞0，m-2＜0．
∴-3m（m-2）＞0，-3m（m-2）+1＞1＞0，△＞0．
∴當

1

4

＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根．
解法二：直接分析

1

4

＜m＜2時，函數y=（m-2）x²-（m-1）x+m的圖象，
∵該函數的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交，
∴該拋物線必與x軸有兩個不同交點．
∴當

1

4

＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根．
解法三：△=[-（m-1）]²-4m（m-2）=-3m²+6m+1=-3（m-1）²+4．
結合△=-3（m-1）²+4關于m的圖象可知，（如圖）
當

1

4

＜m≤1時，

37

16

＜△≤4；
當1＜m＜2時，1＜△＜4．
∴當

1

4

＜m＜2時，△＞0．
∴當

1

4

＜m＜2時，此方程有兩個不相等的實數根．