Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，直線MN與⊙O相切于點C，過點B作BD⊥MN于點D．

（1）求證：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4，CD＝4，則⊙O的半徑是　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5．

【解析】

（1）連接OC，由切線的性質可得OC⊥MN，即可證得OC∥BD，由平行線的性質和等腰三角形的性質可得∠CBD＝∠BCO＝∠ABC，即可證得結論；

（2）連接AC，由勾股定理求得BD，然后通過證得△ABC∽△CBD，求得直徑AB，從而求得半徑．

（1）證明：連接OC，

∵MN為⊙O的切線，

∴OC⊥MN，

∵BD⊥MN，

∴OC∥BD，

∴∠CBD＝∠BCO．

又∵OC＝OB，

∴∠BCO＝∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABC．；

（2）解：連接AC，

在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，

∴BD＝＝8，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠CDB＝90°，

∵∠ABC＝∠CBD，

∴△ABC∽△CBD，

∴，即，

∴AB＝10，

∴⊙O的半徑是5，

故答案為5．