Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A旋轉．
（1）發現與證明：
發現：①當E點旋轉到DA的延長線上時（如圖1），△ABE與△ADG的面積關系是：

 

．
②當E點旋轉到CB的延長線上時（如圖2），△ABE與△ADG的面積關系是：

 

．
證明：請你選擇上述兩個發現中的任意一個加以證明，選擇①、②證明的滿分分別為4分和6分．（注意：證明前要注明選擇了哪一個發現）
（2）引申與運用：
引申：當正方形AEFG旋轉任意一個角度時（如圖3），△ABE與△ADG的面積關系是：

 

．
運用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形（如圖4），則圖中陰影部分的面積和的最大值是

 

cm²．
證明：我選擇

 

進行證明．

Answer 1

分析：（1）①根據三角形的面積公式，兩三角形是面積都是兩正方形邊長積的一半，所以相等；
②過B點作BM⊥AE于M，過D點作DN⊥GA交GA的延長線于N，根據直角可以證明∠MAB=∠DAN，然后證明△AMB與△AND全等，再根據全等三角形對應邊相等可得BM=DN，有正方形AEFG的邊長AE=AG，根據三角形的面積公式即可證明面積相等；
（2）引申：同理②的證明，可以得到兩三角形面積相等；
運用：圖中三個陰影部分的面積都等于△ABC的面積，當AB⊥BC時面積最大，進行計算即可求解．

解答：解：（1）發現：①當E點旋轉到DA的延長線上時，BC⊥ED，
∴S_△ABE=

1

2

AE•AB，S_△ADG=

1

2

AG•AD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△ABE與△ADG的面積關系是：相等；（1分）

②當E點旋轉到CB的延長線上時，△ABE與△ADG的面積關系是：相等．（1分）
證明：我選擇②進行證明，
過B點作BM⊥AE于M，過D點作DN⊥GA交GA的延長線于N，
∴∠AMB=∠AND=90°，
∵∠BAN+∠DAN=∠MAB+∠BAN=90°，
∴∠MAB=∠DAN，
又∵AB=AD，
∴在△AMB與△AND中，

∠AMB=∠AND=90° ∠MAB=∠DAN AB=AD

，
∴△AMB≌△AND（AAS），
∴BM=DN，
∵S_△ABE=

1

2

×AE×BM，S_△ADG=

1

2

×AG×DN，
∴S_△ABE=S_△ADG；
（證明過程共（6分），如選擇①證明，給4分）

（2）引申與運用：
引申：△ABE與△ADG的面積關系是：相等．（2分）
運用：根據前面結論有：S_△AEN=S_△BFM=S_△DCG=S_△ABC，
∴圖中陰影部分的面積=3S_△ABC，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴當AB⊥BC時，△ABC面積最大，最大值是

1

2

×AB×BC=

1

2

×5×3=7.5，
∴圖中陰影部分的面積和的最大值是：7.5×3=22.5cm²．（2分）

點評：本題考查了正方形的邊長相等，四個角都是直角的性質，全等三角形的判定與性質，作輔助線，構造出全等三角形是解題的關鍵．