Question

【題目】某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品共50件.已知生產一件A種產品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產一件B種產品需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元。設生產A種產品的生產件數為x， A、B兩種產品所獲總利潤為y (元)

（1）試寫出y與x之間的函數關系式；

（2）求出自變量x的取值范圍；

（3）利用函數的性質說明哪種生產方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】（1）y與x之間的函數關系式是；

（2）自變量x的取值范圍是x = 30，31，32；

（3）生產A種產品 30件時總利潤最大，最大利潤是45000元，

【解析】（1）由于用這兩種原料生產A、B兩種產品共50件，設生產A種產品x件，那么生產B種產品（50-x）件．由A產品每件獲利700元，B產品每件獲利1200元，根據總利潤=700×A種產品數量+1200×B種產品數量即可得到y與x之間的函數關系式；
（2）關系式為：A種產品需要甲種原料數量+B種產品需要甲種原料數量≤360；A種產品需要乙種原料數量+B種產品需要乙種原料數量≤290，把相關數值代入得到不等式組，解不等式組即可得到自變量x的取值范圍；
（3）根據（1）中所求的y與x之間的函數關系式，利用一次函數的增減性和（2）得到的取值范圍即可求得最大利潤．

解答：解：（1）設生產A種產品x件，則生產B種產品（50-x）件，
由題意得：y=700x+1200（50-x）=-500x+60000，
即y與x之間的函數關系式為y=-500x+60000；
（2）由題意得，
解得30≤x≤32．
∵x為整數，
∴整數x=30，31或32；
（3）∵y=-500x+60000，-500＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∵x=30，31或32，
∴當x=30時，y有最大值為-500×30+60000=45000．
即生產A種產品30件，B種產品20件時，總利潤最大，最大利潤是45000元．

“點睛”本題考查一次函數的應用，一元一次不等式組的應用及最大利潤問題；得到兩種原料的關系式及總利潤的等量關系是解決本題的關鍵．