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精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
精英家教網在四邊形ABCD中,AC、BD是四邊形ABCD的兩條對角線,點E、F、G、H分別是在四邊形ABCD的四邊上的動點,但E、F、G、H不與A、B、C、D重合,且EF∥BD∥GH,FG∥AC∥HE.
(1)若對角線AC=BD=a(定值),求證:四邊形EFGH的周長是定值;
(2)若AC=m,BD=n,m、n為定值,但m≠n,則四邊形EFGH的周長是定值嗎?請指出,并說明理由.
分析:(1)首先EF∥BD∥GH,FG∥AC∥HE可以證明四邊形EFGH為平行四邊形,設GH為x,GF為y,AH=p,BH=q,然后利用平行線分線段成比例可以得到即
AH
AB
=
GH
BD
BH
AB
=
HE
AC
,即
q
p+q
=
y
a
p
p+q
=
x
a
,然后即可求出x+y,也就求出了四邊形EFGH的周長,最后就證明了四邊形EFGH的周長是定值;
(2)利用(1)中的結論,根據AC=m,BD=n,求出x+y,然后利用圖形的性質討論即可得到結論.
解答:解:(1)∵EF∥BD∥GH,FG∥AC∥HE精英家教網
∴四邊形EFGH是平行四邊形,
設GH為x,GF為y,AH=p,BH=q
∵GH∥BD,BD=a
AH
AB
=
GH
BD

p
p+q
=
x
a

∵HE∥AC,AC=a
BH
AB
=
HE
AC

q
p+q
=
y
a

x+y=
a(p+q)
p+q
=a

故四邊形EFGH的周長=2(x+y)=2a;

(2)∵AC=m,BD=n,
則有
y
m
=
p
p+q
x
n
=
q
p+q

∴x+y=
pm+qn
p+q
=
p
q
m+n
p
q
+1

∵m、n為確定的值,H是AB上的動點,
p
q
是變量,
而x+y隨
p
q
的變化而變化,
∴x+y不能確定,即四邊形EFGH的周長不是定值.
點評:此題比較復雜,要分類討論,主要考查平行線分線段成比例定理,有的同學因為沒有找準對應關系,從而導致錯誤答案.
練習冊系列答案
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