Question

在四邊形ABCD中，AC、BD是四邊形ABCD的兩條對角線，點E、F、G、H分別是在四邊形ABCD的四邊上的動點，但E、F、G、H不與A、B、C、D重合，且EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE．
（1）若對角線AC=BD=a（定值），求證：四邊形EFGH的周長是定值；
（2）若AC=m，BD=n，m、n為定值，但m≠n，則四邊形EFGH的周長是定值嗎？請指出，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE可以證明四邊形EFGH為平行四邊形，設GH為x，GF為y，AH=p，BH=q，然后利用平行線分線段成比例可以得到即

AH

AB

=

GH

BD

，

BH

AB

=

HE

AC

，即

q

p+q

=

y

a

，

p

p+q

=

x

a

，然后即可求出x+y，也就求出了四邊形EFGH的周長，最后就證明了四邊形EFGH的周長是定值；
（2）利用（1）中的結論，根據AC=m，BD=n，求出x+y，然后利用圖形的性質討論即可得到結論．

解答：解：（1）∵EF∥BD∥GH，FG∥AC∥HE
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
設GH為x，GF為y，AH=p，BH=q
∵GH∥BD，BD=a
∴

AH

AB

=

GH

BD

，
即

p

p+q

=

x

a

，
∵HE∥AC，AC=a
∴

BH

AB

=

HE

AC

，
即

q

p+q

=

y

a

，
∴x+y=

a(p+q)

p+q

=a，
故四邊形EFGH的周長=2（x+y）=2a；

（2）∵AC=m，BD=n，
則有

y

m

=

p

p+q

，

x

n

=

q

p+q

，
∴x+y=

pm+qn

p+q

=

p q m+n

p q +1

，
∵m、n為確定的值，H是AB上的動點，

p

q

是變量，
而x+y隨

p

q

的變化而變化，
∴x+y不能確定，即四邊形EFGH的周長不是定值．

點評：此題比較復雜，要分類討論，主要考查平行線分線段成比例定理，有的同學因為沒有找準對應關系，從而導致錯誤答案．