Question

【題目】如圖①，直線y=﹣x+8與x軸交于點A，與直線y=x交于點B，點P為AB邊的中點，作PC⊥OB與點C，PD⊥OA于點D．

（1）填空：點A坐標為　 　，點B的坐標為　 　，∠CPD度數為　 　；

（2）如圖②，若點M為線段OB上的一動點，將直線PM繞點P按逆時針方向旋轉，旋轉角與∠AOB相等，旋轉后的直線與x軸交于點N，試求MBAN的值；

（3）在（2）的條件下，當MB＜2時（如圖③），試證明：MN=DN﹣MC；

（4）在（3）的條件下，設MB=t，MN=s，直接寫出s與t的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）（8，0），（4，4），120°．（2）16；（3）證明見解析；（4）S=+t﹣4（0＜t＜2）．

【解析】分析：（1）利用待定系數法可得A、B兩點坐標，根據tan∠BOA=，可得∠BOA=60°，再根據四邊形內角和定理可求∠CPD；

（2）只要證明△PAN∽△MBP，可得，由此即可解決問題；

（3）如圖③中，在DO上截取DK=MC，連接OP．只要證明△PCM≌△PDK，△PNM≌△PNK即可解決問題；

（4）利用（2）（3）中的結論即可解決問題；

詳解：（1）如圖①中，

對于直線y=﹣x+8，令y=0，解得x=8，可得A（8，0），

由，解得，

∴B（4，4），

∴tan∠BOA=，

∴∠BOA=60°，

∵PC⊥OB與點C，PD⊥OA于點D，

∴∠PCO=∠PDO=90°，

∴∠CPD=120°，

故答案為（8，0），（4，4），120°．

（2）如圖②中，

∵OA=OB=8，∠AOB=60°，

∴△AOB是等邊三角形，

∴AB=OA=OB=8，∠OBA=∠OAB=60°，

∴PA=PB=4，

∵∠APM=∠APN+∠MPN=∠PMB+∠PBM，

∵∠MPN=∠PBM=60°，

∴∠APN=∠PMB，

∴△PAN∽△MBP，

∴，

∴MBAN=4×4=16．

（3）如圖③中，在DO上截取DK=MC，連接OP．

∵OB=OA，PB=PA，

∴∠POB=∠POA，

∵PC⊥OB與點C，PD⊥OA于點D，

∴PC=PD，∵∠PCM=∠PDK=90°，MC=DK，

∴△PCM≌△PDK，

∴PM=PK，∠CPM=∠DPK，

∴∠MPK=∠CPD=120°，

∵∠MPN=60°，

∴∠MPN=∠KPN=60°，∵PN=PN，

∴△PNM≌△PNK，

∴MN=KN=DN﹣DK=DN﹣CM．

（4）如圖③中，由（2）可知：AN=，易知BC=AD=2，

∵MN=DN﹣CM，

∴MN=（AN﹣AD）﹣（BC﹣BM），

∴S=﹣2﹣（2﹣t）=+t﹣4（0＜t＜2）．