Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的圖象與x軸負半軸交于點A（﹣1，0），與y軸正半軸交于點B，頂點為P，且OB=3OA，一次函數y=kx+b的圖象經過A、B．

（1）求一次函數解析式；
（2）求頂點P的坐標；
（3）平移直線AB使其過點P，如果點M在平移后的直線上，且 ，求點M坐標；
（4）設拋物線的對稱軸交x軸于點E，連接AP交y軸于點D，若點Q、N分別為兩線段PE、PD上的動點，連接QD、QN，請直接寫出QD+QN的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣1，0），

∴OA=1

∵OB=3OA，

∴B（0，3）

∴圖象過A、B兩點的一次函數的解析式為：y=3x+3

（2）

解：∵二次函數y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的圖象與x軸負半軸交于點A（﹣1，0），與y軸正半軸交于點B（0，3），

∴c=3，a=﹣1，

∴二次函數的解析式為：y=﹣x2+2x+3

∴拋物線y=﹣x2+2x+3的頂點P（1，4）

（3）

解：設平移后的直線的解析式為：y=3x+m

∵直線y=3x+m過P（1，4），

∴m=1，

∴平移后的直線為y=3x+1

∵M在直線y=3x+1，且

設M（x，3x+1）

①當點M在x軸上方時，有 ，

∴ ，

∴

②當點M在x軸下方時，有 ，

∴ ，

∴ ，

（4）

解：作點D關于直線x=1的對稱點D′，過點D′作D′N⊥PD于點N，

當﹣x2+2x+3=0時，解得，x=﹣1或x=3，

∴A（﹣1，0），

P點坐標為（1，4），

則可得PD解析式為：y=2x+2，

根據ND′⊥PD，

設ND′解析式為y=kx+b，

則k=﹣ ，

將D′（2，2）代入即可求出b的值，

可得函數解析式為y=﹣ x+3，

將兩函數解析式組成方程組得： ，

解得 ，

故N（ ， ），

由兩點間的距離公式：d= = ，

∴所求最小值為

【解析】（1）根據拋物線的解析式即可得出B（0，3），根據OB=3OA，可求出OA的長，也就得出了A點的坐標，然后將A、B的坐標代入直線AB的解析式中，即可得出所求；（2）將（1）得出的A點坐標代入拋物線的解析式中，可求出a的值，也就確定了拋物線的解析式進而可求出P點的坐標；（3）易求出平移后的直線的解析式，可根據此解析式設出M點坐標（設橫坐標，根據直線的解析式表示出縱坐標）．然后過M作x軸的垂線設垂足為E，在構建的直角三角形AME中，可用M點的坐標表示出ME和AE的長，然后根據∠OAM的正切值求出M的坐標．（本題要分M在x軸上方和x軸下方兩種情況求解．方法一樣．）（4）作點D關于直線x=1的對稱點D′，過點D′作D′N⊥PD于點N，根據垂線段最短求出QD+QN的最小值．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．