Question

【題目】平面直角坐標系中，直線，點，點，動點在直線上，動點、在軸正半軸上，連接、、．

（1）若點，求直線的解析式；

（2）如圖，當周長最小時，連接，求的最小值，并求出此時點的坐標；

Answer 1

【答案】(1)；（2）最小值為；P點坐標為.

【解析】

（1）設直線的解析式為，根據點M、Q的坐標，利用待定系數法求出k、b的值即可得答案；（2）作點關于軸的對稱點，作點關于直線的對稱點連接交軸于，交直線于，此時周長最小，根據題意可得點和的坐標，即可求出直線的解析式，聯立y=x，即可求出M點坐標，點，作于，作于，則，，，根據∠EAF的正弦值可得，根據垂線段最短可知，、、共線時，的值最小，可得，進而可得直線AE和MK的解析式，聯立兩個解析式即可求出K點坐標，根據兩點距離公式即可求出MK和MQ的值，即可得答案.

（1）設直線的解析式為，

則有，

解得，

直線的解析式為．

（2）如圖中，作點關于軸的對稱點，作點關于直線的對稱點連接交軸于，交直線于，此時周長最小．

由題意，，

直線的解析式為，

由，解得，

，

取點，作于，作于，則，，，

，

，

，

根據垂線段最短可知，當、、共線時，的值最小，

∵，，

∴直線的解析式為，

設直線MK的解析式為y=kx+b,

，

∴k=,

把M點坐標代入得：=×+b，

解得：b=，

直線的解析式為，

當y=0時，=0，

解得：x=，

∴P點坐標為（，0）.

由，解得，

，

∴MK==，

MQ==

∴的最小值．此時點的坐標為．