Question

春節期間某水庫養殖場為適應市場需求，連續用20天時間，采用每天降低水位以減少捕撈成本的辦法，對水庫中某種鮮魚進行捕撈、銷售．九（1）班數學建模興趣小組根據調查，整理出第x天（1≤x≤20且x為整數）的捕撈與銷售的相關信息如表：

鮮魚銷售單價（元/kg）	20
單位捕撈成本（元/kg）	5- x 5
捕撈量（kg）	950-10x

（1）在此期間該養殖場每天的捕撈量與前一天末的捕撈量相比是如何變化的？
（2）假定該養殖場每天捕撈和銷售的鮮魚沒有損失，且能在當天全部售出，求第x天的收入y（元）與x（天）之間的函數關系式？（當天收入=日銷售額-日捕撈成本）
（3）試說明（2）中的函數y隨x的變化情況，并指出在第幾天y取得最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由圖表中的數據可知該養殖場每天的捕撈量比前一天減少10kg；
（2）根據收入=捕撈量×單價-捕撈成本，列出函數表達式；
（3）將實際轉化為求函數最值問題，從而求得最大值．

解答：解：（1）根據捕撈量與天數x的關系：950-10x可知：該養殖場每天的捕撈量與前一天減少10kg；

（2）由題意，得
y=20×（950-10x）-（5-

x

5

）×（950-10x）
=-2x²+40x+14250；

（3）∵-2＜0，y=-2x²+40x+14250=-2（x-10）²+14450，
又∵1≤x≤20且x為整數，
∴當1≤x≤10時，y隨x的增大而增大；
當10≤x≤20時，y隨x的增大而減小；
當x=10時即在第10天，y取得最大值，最大值為14450．

點評：此題考查二次函數的性質及其應用，要運用圖表中的信息，將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題，比較簡單．