Question

【題目】如圖，一次函數y=mx+n(m≠0)的圖象與反比例函數y(k≠0)的圖象交于第一、三象限內的A、B兩點，與y軸交于點C，過點B作BM⊥x軸，垂足為點M，BM=OM=2，點A的縱坐標為4．

（1）求該反比例函數和一次函數的表達式；

（2）根據圖象直接寫出當mx+n時，x的取值范圍；

（3）直線AB交x軸于點D，過點D作直線l⊥x軸，如果直線l上存在點P，坐標平面內存在點Q，使以O、P、A、Q為頂點的四邊形是矩形，直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y，y=2x+2；（2）x＞1或﹣2＜x＜0；（3）存在，點P的坐標為(﹣1，)或(﹣1，)或(﹣1，2)或(﹣1，2)．

【解析】

(1)根據題意得出B點坐標，進而得出反比例函數解析式，再利用待定系數法得出一次函數解析式；

（2）若mx+n，結合圖象可知即一次函數圖象再反比例函數圖象之上，結合圖象即可求解；

（3）若以O、P、A、Q為頂點的四邊形是矩形，則存在兩種情況，①若AO為邊，②若AO是對角線.

（1）∵BM=OM=2，

∴點B的坐標為(﹣2，﹣2)，

設反比例函數的解析式為y，

則﹣2，

得k=4，

∴反比例函數的解析式為y，

∵點A的縱坐標是4，

∴4，得x=1，

∴點A的坐標為(1，4)．

∵一次函數y=mx+n(m≠0)的圖象過點A(1，4)、點B(﹣2，﹣2)，

∴，

解得：，

即一次函數的解析式為y=2x+2；

（2）由圖象可得當x＞1或﹣2＜x＜0時，mx+n；

（3）存在，

若AO為邊，

如圖1，當四邊形POAQ是矩形時，則∠POA=90°，

∵點A(1，4)，點O(0，0)，∴AO解析式為y=4x，∴直線DO解析式為：yx．

∵直線AB于x軸交于D，∴D(﹣1，0)，∴OD=1，

設P(﹣1，a)，∴a，∴點P(﹣1，)；

當四邊形PAOQ是矩形，則∠PAO=90°，

同理可求：點P(﹣1，)；

若AO是對角線，

如圖2，當∠APO=90°，

∵OP2=OA2﹣PA2=PD2+OD2，∴12+42﹣[(1+1)2+(4﹣a)2]=12+a2，

解得：a=2±，∴P(﹣1，2)或(﹣1，2)，

綜上所述：點P的坐標為(﹣1，)或(﹣1，)或(﹣1，2)或(﹣1，2)．