Question

如圖，直線MN分別與x軸、y軸交于點M，N，與反比例函數y=

k

x

（x＞0）的圖象相交于點A，B．過點A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C，E；過點B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F，D，AC與BD交于點K，連接CD．
（1）比較大小：S_{四邊形AEOC}

 

S_{四邊形ODBF}；（填“＞，=，＜”）
（2）求證：

AK

BK

=

CK

DK

；
（3）試判斷AN與BM有怎樣的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）從雙曲線上的任一點向兩坐標軸作垂線，與坐標軸所圍成的矩形的面積相等；
（2）利用上題得到的結論，可以得到四邊形AEDK的面積等于四邊形CFBK的面積，從而得到其鄰邊的成績相等，進而證得比例式成立；
（3）利用上題證得的比例式加上AKB=∠CKD可以證得△AKB∽△CKD，從而可以得到∠ABK=∠CDK，證得四邊形ACDN是平行四邊形后結論得證．

解答：解：（1）S_矩形AEOC=S_矩形BDOF．

（2）∵S_{四邊形AEDK}=S_矩形AEOC-S_矩形DOCK，
S_{四邊形CFBK}=S_矩形BDOF-S_矩形DOCK．
∴S_{四邊形AEDK}=S_{四邊形CFBK}
∴AK•DK=BK•CK．
∴

AK

BK

=

CK

DK

．

（3）∵

AK

BK

=

CK

DK

，∠AKB=∠CKD=90°，
∴△AKB∽△CKD．
∴∠ABK=∠CDK，
∴AB∥CD．
∵AC∥y軸，
∴四邊形ACDN是平行四邊形．
∴AN=CD．
同理BM=CD．
∴AN=BM．

點評：本題是一道反比例函數的綜合題，題目中還考查了比例式的證明及相似三角形的判定的知識，難度中等．