Question

【題目】在中，若存在一個內角角度，是另外一個內角角度的倍（為大于1的正整數），則稱為倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以為3倍角三角形．

（1）在中，，，則為________倍角三角形；

（2）若是3倍角三角形，且其中一個內角的度數是另外一個內角的余角的度數的，求的最小內角．

（3）若是2倍角三角形，且，請直接寫出的最小內角的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）的最小內角為15°或9°或；（3）30°＜x＜45°．

【解析】

(1)根據三角形內角和定理求出∠C的度數，再根據倍角三角形的定義判斷即可得到答案；

(2) 根據△DEF是3倍角三角形，必定有一個內角是另一個內角的3倍，然后根據這兩個角之間的關系，分情況進行解答即可得到答案；

(3) 可設未知數表示2倍角三角形的各個內角，然后列不等式組確定最小內角的取值范圍．

解：(1)∵在中，，，

∴∠C=180°-55°-25°=100°，

∴∠C=4∠B，

故為4倍角三角形；

(2) 設其中一個內角為x°，3倍角為3x°，則另外一個內角為：
①當小的內角的度數是3倍內角的余角的度數的時，

即：x=（90°-3x），

解得：x=15°，

②3倍內角的度數是小內角的余角的度數的時，

即：3x=（90°-x），解得：x=9°，

③當時，

解得：，

此時：=，因此為最小內角，

因此，△DEF的最小內角是9°或15°或．

(3) 設最小內角為x，則2倍內角為2x，第三個內角為（180°-3x），由題意得：
2x＜90°且180°-3x＜90°，
∴30°＜x＜45°，
答：△MNP的最小內角的取值范圍是30°＜x＜45°．