Question

【題目】已知：如圖，△ABC內接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足為D，點E為上一點，且BE=CF，

（1）求證：AE是⊙O的直徑；

（2）若∠ABC=∠EAC，AE=4，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AC=2.

【解析】

（1）由BE=CF，則可證得∠BAE=∠FAC，根據圓周角定理和等角的余角相等證明即可；
（2）連接OC，根據圓周角定理證明△AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得．

（1）證明：∵BE=CF，
∴ ，
∴∠BAE=∠CAF，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠FAC+∠ACD=90°，
∵∠E=∠ACD，
∴∠BAE+∠E=90°，
∴∠ABE=90°，
∴ AE是⊙O的直徑 .
（2）解：連結OC，

∴∠AOC=2∠ABC，
∵∠ABC=∠CAE，
∴∠AOC=2∠CAE，
∵OA=OA，
∴∠CAO=∠ACO=∠AOC，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∵AE=4，
∴AO=CO=2，
∴AC=.